Question

【題目】教材呈現：如圖是華師版八年級上冊數學教材第96頁的部分內容．

（1）定理證明：請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整的證明過程．

（2）定理應用：如圖②，在△ABC中，AD、BE分別是∠BAC、∠ABC的角平分線，AD、BE的交點為O，連結CO交AB于點F，求證：∠ACF=∠BCF．

（3）如圖③，在（2）的條件下，若BE=CE，∠C=30°，△ABD沿AD翻折使點B落在邊AC上的點M處，連結DM，其中AB=，則S△DCM= ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）利用AAS可證△PEO≌PDO，可得PD=PE；
（2）由角平分線的性質可得，OG=OH，OH=OI，可得OG=OI，由在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上，可得結論；
（3）由角平分線的性質和等腰三角形的性質可求∠BAC=90°，可求AE，BE，CE，BC的長，即可求BD=DM=CM的長，由三角形面積公式可求解．

證明：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°，且∠BOC=∠AOC，OP=OP，
∴△PEO≌PDO（AAS）
∴PD=PE；

（2）如圖，作OG⊥BC于G，OH⊥AB于H，OI⊥AC于I．

由（1）得，OG=OH，OH=OI．
∴OG=OI，且OG⊥BC，OI⊥AC，
∴點O在∠ACB的平分線上，
∴∠ACF=∠BCF．

（3）如圖，連接AD，

∵BE=CE，
∴∠C=∠EBC=30°，
∵AD、BE分別是∠BAC、∠ABC的角平分線，
∴∠ABE=∠CBE=30°，∠BAD=∠CAD．
∴∠BAC=90°，且AB=，
∴AE=1，BE=2=CE，
∴AC=3，BC=．
∵△ABD沿AD翻折使點B落在邊AC上的點M處，
∴AB=AM=，BD=DM，∠AMD=∠ABC=60°
∴CM=AC-AM=，
∵∠MDC+∠MCD=∠AMD=60°，
∴∠MDC=∠MCD=30°，
∴MC=DM=BD=，CD=BC-BD=，

∴S△DMC==.