Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連接AC，BC，PB：PC=1：2．

（1）求證：AC平分∠BAD；

（2）探究線段PB，AB之間的數量關系，并說明理由；

（3）若AD=3，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）AB=3PB，理由見試題解析；（3）5．

【解析】

試題分析：（1）首先連接OC，由PE是⊙O的切線，AE和過點C的切線互相垂直，可證得OC∥AE，又由OA=OC，易證得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD；

（2）由AB是⊙O的直徑，PE是切線，可證得∠PCB=∠PAC，即可證得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的對應邊成比例與PB：PC=1：2，即可求得答案；

（3）首先過點O作OH⊥AD于點H，則AH=AD=，四邊形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得OC的長，再由△PBC∽△PCA，證得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的長，繼而求得答案．

試題解析：（1）連接OC，∵PE是⊙O的切線，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠BAD；

（2）線段PB，AB之間的數量關系為：AB=3PB．理由：

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，∵∠PCB+∠OCB=90°，∴∠PCB=∠PAC，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴，∴=PBPA，∵PB：PC=1：2，∴PC=2PB，∴PA=4PB，∴AB=3PB；

（3）過點O作OH⊥AD于點H，則AH=AD=，四邊形OCEH是矩形，∴OC=HE，∴AE=+OC，∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA，∴，∵AB=3PB，AB=2OB，∴OB=PB，∴==，∴OC=，∴AB=5，∵△PBC∽△PCA，∴，∴AC=2BC，在Rt△ABC中，，∴，∴BC=，∴AC=，∴S△ABC=ACBC=5．