Question

【題目】如圖，P是半徑為cm的⊙O外一點，PA，PB分別和⊙O切于點A，B，PA=PB=3cm，∠APB=60°，C是弧AB上一點，過C作⊙O的切線交PA，PB于點D，E．

（1）求△PDE的周長；

（2）若DE=cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）6cm；

（2）（4﹣π）cm2 ．

【解析】試題分析：（1）根據切線長定理得PA=PB=3cm，CE=BE，AD=DC，由三角形周長定義得△PDE的周長=PE+DE+PD，然后利用等線段可得△PDE的周長=PA+PB=6cm；

（2）連接OB、OA、OE，OD，如圖，根據切線的性質得∠OBP=∠OPA=90°，再根據四邊形內角和計算出∠BOA=120°，利用切線長定理得BE=CE，DC=DA，則根據三角形面積公式得到S△OCE=S△OBE，S△OCD=S△ODA，所以S五邊AOBED=2S△ODE=4，然后根據扇形面積公式和圖中陰影部分的面積=S五邊AOBED-S扇形AOB進行計算．

試題解析：（1）∵PA、PB、DE是⊙O的切線，

∴PA=PB=3cm，CE=BE，AD=DC，

∴△PDE的周長=PE+DE+PD=PE+CE+CD+PD

=PE+BE+AD+PD

=PA+PB

=3cm+3cm

=6cm；

（2）連接OB、OA、OE，OD，如圖，

∵PA、PB、OC是⊙O的切線，

∴OB⊥PB，OA⊥PA，OC⊥DE，

∴∠OBP=∠OPA=90°，

∵∠APB=60°，

∴∠BOA=120°，

∵BE=CE，DC=DA，

∴S△OCE=S△OBE，S△OCD=S△ODA ，

∴S五邊AOBED=2S△ODE=2×××=4，

∴圖中陰影部分的面積=S五邊AOBED﹣S扇形AOB=4﹣=（4﹣π）cm2．