Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB，點D在直線BC上運動（不與點B、C重合），點E在射線AC上運動，且∠ADE＝∠AED，設∠DAC＝n.

（1）如圖①，當點D在邊BC上時，且n等于30°，則∠BAD＝ ，∠CDE＝ ；

（2）如圖②，當點D運動到點B左側時，其他條件不變，請猜想∠BAD和∠CDE的數量關系，并說明理由；

（3）當點D運動到點C的右側時，其他條件不變，∠BAD和∠CDE還滿足（2）中的數量關系嗎？請在圖③中畫出圖形，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）,理由見解析；（3）,理由見解析

【解析】

（1）如圖①，將∠BAC=90°，∠DAC=30°代入∠BAD=∠BAC-∠DAC，求出∠BAD．在△ABC中利用三角形內角和定理求出∠ABC=∠ACB=45°，根據三角形外角的性質得出∠ADC=∠ABC+∠BAD=105°，在△ADE中利用三角形內角和定理求出∠ADE=∠AED=75°，那么∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°；

（2）如圖②，在△ABC和△ADE中利用三角形內角和定理求出∠ABC=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=.根據三角形外角的性質得出∠CDE=∠ACB-∠AED=，再由∠BAD=∠DAC-∠BAC得到∠BAD=n-90°，從而得出結論∠BAD=2∠CDE；

（3）如圖③，在△ABC和△ADE中利用三角形內角和定理求出∠ABC=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=．根據三角形外角的性質得出∠CDE=∠ACD-∠AED=，再由∠BAD=∠BAC+∠DAC得到∠BAD=90°+n，從而得出結論∠BAD=2∠CDE．

解：

（1）∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-30°=60°．

∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=45°+60°=105°．

∵∠DAC=30°，∠ADE=∠AED，

∴∠ADE=∠AED=75°，

∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°．

故答案為60°，30°；

（2）∠BAD=2∠CDE，理由如下：

如圖②，在△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°．

在△ADE中，∠DAC=n，

∴∠ADE=∠AED=

∵∠ACB=∠CDE+∠AED，

∴∠CDE=∠ACB-∠AED=45°- = ．

∵∠BAC=90°，∠DAC=n，

∴∠BAD=n-90°，

∴∠BAD=2∠CDE；

（3）∠BAD=2∠CDE，

理由如下：如圖③，在△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ACD=135°．

在△ADE中，∠DAC=n，

∴∠ADE=∠AED=．

∵∠ACD=∠CDE+∠AED，

∴∠CDE=∠ACD-∠AED=135°- = ．

∵∠BAC=90°，∠DAC=n，

∴∠BAD=90°+n，

∴∠BAD=2∠CDE．