Question

【題目】問題的提出：如果點(diǎn)P是銳角內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，如何確定一個(gè)位置，使點(diǎn)P到的三頂點(diǎn)的距離之和的值為最小？

問題的轉(zhuǎn)化：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，這樣就把確定的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問題了，請(qǐng)你利用圖1證明：；

問題的解決：當(dāng)點(diǎn)P到銳角的三頂點(diǎn)的距離之和的值為最小時(shí)，求和的度數(shù)；

問題的延伸：如圖2是有一個(gè)銳角為的直角三角形，如果斜邊為2，點(diǎn)P是這個(gè)三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你利用以上方法，求點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）滿足：時(shí)，的值為最小；（3）點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值為．

【解析】

問題的轉(zhuǎn)化：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△APP是等邊三角形，則PP=PA，可得結(jié)論；

問題的解決：運(yùn)用類比的思想，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，連接，由“問題的轉(zhuǎn)化”可知：當(dāng)B、P、P、C在同一直線上時(shí)，的值為最小，確定當(dāng)：時(shí)，滿足三點(diǎn)共線；

問題的延伸：如圖3，作輔助線，構(gòu)建直角△ABC，利用勾股定理求AC的長(zhǎng)，即是點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值．

問題的轉(zhuǎn)化：

如圖1，

由旋轉(zhuǎn)得：∠PAP=60°，PA=PA，

△APP是等邊三角形，

∴PP=PA，

∵PC=PC，

．

問題的解決：

滿足：時(shí)，的值為最小；

理由是：如圖2，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，連接，

由“問題的轉(zhuǎn)化”可知：當(dāng)B、P、P、C在同一直線上時(shí)，的值為最小，

，∠APP=60°，

∴∠APB+∠APP=180°，

、P、P在同一直線上，

由旋轉(zhuǎn)得：∠APC=∠APC=120°，

∵∠APP=60°，

∴∠APC+∠A PP=180°，

、P、C在同一直線上，

、P、P、C在同一直線上，

此時(shí)的值為最小，

故答案為：；

問題的延伸：

如圖3，中，，，

，，

把繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，連接，

當(dāng)A、P、P、C在同一直線上時(shí)，的值為最小，

由旋轉(zhuǎn)得：BP=BP，∠PBP=60°，PC=PC，BC=BC，

是等邊三角形，

∴PP=PB，

∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠CBP=30°，

∴∠ABC=90°，

由勾股定理得：AC=，

∴PA+PB+PC=PA+PP+PC=AC=，

則點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值為．