Question

【題目】張老師給愛好學習的的小軍和小俊提出這樣一個問題：如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，點P為邊BC上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD＋PE＝CF．

小軍的證明思路是：如圖（2），連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD＋PE＝CF．

老師表揚了小軍，并且告訴小軍和小俊：在求解平面幾何問題的時候，根據有關幾何量與涉及的有關圖形面積之間的內在聯系，用面積或面積之間的關系表示有關線段間的關系，從而把要論證的線段之間的關系轉化為面積的關系，并通過圖形面積的等積變換對所論問題來進行求解的方法，這種方法稱為“面積法”.

請你使用“面積法”解決下列問題：

（1）Rt△ABC兩條直角邊長為3和4，則它的內切圓半徑為 ；

（2）如圖（3），△ABC中AB=15，BC=14，AC=13，AD是BC邊上的高.求AD長及△ABC的內切圓的半徑；

（3）如圖（4），在四邊形ABCD中，⊙O1與⊙O2分別為△ABD與△BCD的內切圓，⊙O1與△ABD切點分別為E、F、G，設它們的半徑分別為r1和r2，若∠ADB=90°，AE=8，BC+CD=20，S△DBC=36，r2=2，求r1的值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）AD=12，內切圓半徑為4；（3）2.

【解析】

（1）由勾股定理求出 ，設半徑是r，根據面積法

，分別代入化簡可得；

（2）由勾股定理得，代入求出，

設半徑是r ，根據面積法，代入化簡可得；

（3）由（2）可知，設半徑是r ，根據面積法可得 ，

則利用已知可以求出，⊙O1是△ABD的內切圓，可知，，，設，利用勾股定理得，則可得出，

，代入即可求出。

（1）

如圖示，Rt△ABC中，AB=4，BC=3，⊙O是內切圓

∴

設⊙O的半徑是r ，由面積法可得：

即：

∴

∴

∴

（2）

如圖示，設，則，并且AD是BC邊上的高，

∴由勾股定理得：

即：，

解之得：

∴ ， ，

∴設⊙O的半徑是r ，由面積法可得：

即：

∴

解之得：

（3）

由（2）可知，設半徑是r ，根據面積法可得：

即：，

已知，，，

∴，即，

∵⊙O1是△ABD的內切圓，
∴，，，
∴，
∴設，則， ，，
∵，
∴，即，

解得，
∴，

∴