Question

【題目】當一個角固定不變，而某種圖形在該角的內部變化，則我們稱這個角為墻角．

（1）如圖1，墻角=30°，如果AB=3，長度不變，在角內滑動，當OA=6時，則求出此時OB的長度．

（2）如圖2，墻角=30°，如果在AB的右邊作等邊，AB=3，長度不變，滑動過程中，請求出點O與點C的最大距離．

（3）如圖3，墻角=時，如果點E是一條邊上的一個點，=90°，其兩條邊與另一條邊交于點F與點D，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）過A點作OB的垂線AE，證明E點與B點重合即可求得OB的長；

（2）在點A運動過程中，AB長不變，∠AOB=30°不變，考慮到同弧所對的圓周角不變，所以構造半徑為3且過AB兩點的圓O＇，易知O O＇=3，C O＇=，當O、O＇、C三點共線時，得最值；

（3）過點F做FGOE與點G，過點D做DHOE與點H，根據=，不妨設FG=3a，DH=3b，則OG=4a，OH=4b，GH=4b-4a ()，證明∽，根據相似三角形的對應邊成比例求解即可．

（1）如圖1，過A點作AE⊥OB，

∵∠O=30°，OA=6

∴AE=

又AB=3，AE⊥OB

∴B點與E點重合

∴

（2）如圖2，在C點的另一側作等邊三角形ABO＇，連接O O＇，連接O＇C交AB于點，則∠A O＇B=60°，以O＇為圓心，以3為半徑作圓，則A、B點在圓上，又因為∠AOB=30°=∠A O＇B，故O點在圓上，當O、O＇、C三點共線時，點O與點C的距離最大．

∵△ABC、△AB O＇為等邊三角形

∴四邊形AO＇BC為菱形

∴O＇C 與AB互相垂直平分，AD=，∠CAD=60°

∴CD=

∴O＇C=2CD=

∴當O、O＇、C三點共線時，點O與點C的最大距離為當OO＇+O＇C

（3）如圖：過點F做FGOE與點G，過點D做DHOE與點H，

∴∠DHE=∠FGE=90°

∵=，設FG=3a，DH=3b，則OG=4a，OH=4b，GH=4b-4a ()

∵=90°

∴∠DEH+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°

∴∠DEH=∠EFG=

∴∽

∴

∴

即

∴

∵

∴

化簡后得到：

∵，

∴，

∴

∴

∵FG//DH，

∴===