Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交折線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)不和的頂點(diǎn)重合時(shí)，以為邊作等邊三角形，使點(diǎn)和點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．

（1）求等邊三角形的邊長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)點(diǎn)落在的邊上時(shí)，求的值；

（3）設(shè)與重合部分圖形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；

（4）作直線，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為，直接寫(xiě)出時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）的值為秒或秒．

【解析】

（1）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)或特殊的三角函數(shù)列式可得結(jié)論；

（2）根據(jù)PQ=PM，列出關(guān)于t的方程即可解答；

（3）分三種情況：①當(dāng)時(shí)，Q在AC上，如圖2，△PQM與△ABC重合部分圖形是等邊△PMQ，

②當(dāng)時(shí)，Q在BC上，如圖5，△PQM與△ABC重合部分圖形是四邊形PEDQ，

③當(dāng)時(shí)，Q在BC上，如圖4，△PQM與△ABC重合部分圖形是等邊△PMQ，

根據(jù)面積公式可得結(jié)論；

（4）分兩種情況：

①當(dāng)Q在AC上時(shí)，如圖6，根據(jù)AC=AQ+CQ，列關(guān)于t的方程可得結(jié)論；

當(dāng)Q在BC上時(shí)，如圖7，根據(jù)CQ=Q'E=2PQ，列關(guān)于t的方程可得結(jié)論．

解：（1）由題意，得，在中，

∵，

∴，

∴，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖①，

∵，

∴，

∴，即，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖②，

即

當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖③，即，

在中，

∵，，

∴；

（2）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖④，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴ ；

（3）分三種情況：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，如圖②，與重合部分圖形是等邊，

∴；

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，如圖⑤，與重合部分圖形是四邊形，

由（2）得，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴

③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，如圖④，與重合部分圖形是等邊，

∴

綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式為

（4）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖⑥，，延長(zhǎng)、交于同一點(diǎn)，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

由對(duì)稱(chēng)得：，

∴，中，，，

∵，

∴，

∵，

∴．

②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖⑦，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，連接，并延長(zhǎng)、交上同一點(diǎn)為，易得，

∴，由（2）知，

∴，由得，

解得，則時(shí)的值為秒或秒．