Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線與軸，軸分別交于點，．拋物線經過點，將點向右平移個單位長度，得到點．

（1）求點的坐標和拋物線的對稱軸；

（2）若拋物線與線段恰有一個公共點，結合函數圖象，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C（5，4）；對稱軸x=1；（2）a≥或a＜或a=-1．

【解析】

（1）根據坐標軸上點的坐標特征可求點B的坐標，根據平移的性質可求點C的坐標；根據坐標軸上點的坐標特征可求點A的坐標，進一步求得拋物線的對稱軸；

（2）結合圖形，分三種情況：①a＞0；②a＜0，③拋物線的頂點在線段BC上；進行討論即可求解

解：（1）與y軸交點：令x=0代入直線y=4x+4得y=4，

∴B（0，4），

∵點B向右平移5個單位長度，得到點C，

∴C（5，4）；

又∵與x軸交點：令y=0代入直線y=4x+4得x=-1，

∴A（-1，0），

∵點B向右平移5個單位長度，得到點C，

將點A（-1，0）代入拋物線y=ax2+bx-3a中得0=a-b-3a，即b=-2a，

∴拋物線的對稱軸x=；

（2）∵拋物線y=ax2+bx-3a經過點A（-1，0）且對稱軸x=1，

由拋物線的對稱性可知拋物線也一定過A的對稱點（3，0），

①a＞0時，如圖1，

將x=0代入拋物線得y=-3a，

∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，

∴-3a＜4，

a＞，

將x=5代入拋物線得y=12a，

∴12a≥4，

a≥，

∴a≥；

②a＜0時，如圖2，

將x=0代入拋物線得y=-3a，

∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，

∴-3a＞4，

a＜，

將x=5代入拋物線得y=12a，

∴12a<4

∴a＜，

∴a＜；

③當拋物線的頂點在線段BC上時，則頂點為（1，4），如圖3，

將點（1，4）代入拋物線得4=a-2a-3a，

解得a=-1．

綜上所述:：a≥或a＜或a=-1．