Question

【題目】圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：

（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系：　 　；

（2）圖2中，當∠D=50度，∠B=40度時，求∠P的度數.

（3）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.

【解析】

（1）根據三角形內角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根據角平分線的定義可得∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，將①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，進而求得∠P的度數；

（3）同（2）根據“8字形”中的角的規律和角平分線的定義，即可得出2∠P=∠D+∠B.

解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，

∠AOD=∠BOC，

∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，

∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，

①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，

∴∠P=45°；

（3）關系：2∠P=∠D+∠B；證明過程同（2）.