Question

如圖，已知等邊三角形△AEC，以AC為對角線做正方形ABCD（點B在△AEC內，點D在△AEC外）．連接EB，過E作EF⊥AB，交AB的延長線為F．請猜測直線BE和直線AC的位置關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：直線BE與直線AC的位置關系是垂直，理由為：延長EB，延長線交AC與點M，由三角形AEC為等邊三角形得到三條邊相等，可得出AE=CE，再由四邊形ABCD為正方形得到AB=CB，又EB為公共邊，利用SSS可得出三角形AEB與三角形CEB全等，根據全等三角形的對應角相等得到一對角相等，可得出EM為頂角平分線，由等腰三角形的三線合一得到EM垂直于AC，即可得證．

解答：直線BE與直線AC的位置關系是垂直，理由為：
證明：延長EB，延長線與AC交于點M，如圖所示：

∵△AEC為等邊三角形，四邊形ABCD為正方形，
∴AE=EC，AB=BC，
在△AEB和△CEB中，

AE=CE AB=CB EB=EB

，
∴△AEB≌△CEB（SSS），
∴∠AEB=∠CEB，即EB是∠AEC的平分線，
又EA=EC，
∴EM⊥AC，
則直線BE與直線AC的位置關系是垂直．

點評：此題考查了等邊三角形、正方形的性質，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．