Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為下底BC上一點（不與B、C重合），過P點作PE交DC于F，使得∠APE=∠B．

（1）求等腰梯形的腰長；

（2）證明：△ABP∽△PCE；

（3）在底邊BC上是否存在一點P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：過A作AE⊥BC于F，由已知可得

BF=……2分

在Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2，

∴AB=4

即等腰梯形的腰長為4

（2）證明：由∠APC為△ABP的外角得

∠APC=∠B+∠BAP，

又∠APC=∠APE+∠CPE，∠B=∠APE，

∴∠BAP=∠CPE．

又由等腰梯形性質得∠B=∠C，

∴△ABP∽△PCE（如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似） 

（3）解：存在這樣的點P

理由如下：

由DE：EC=5：3，DE+CE=DC=4，得

CE=

設BP=，則PC=7-

由△ABP∽△PCE，得

AB/PC=BP/CE，即

解得，經檢驗，都符合題意

∴BP=1或BP=6