Question

【題目】某公司銷售一種進價為20元/個的計算器，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：

價格x（元/個）	…	30	40	50	60	…
銷售量y（萬個）	…	5	4	3	2	…

同時，銷售過程中的其他開支（不含進價）總計40萬元．
（1）觀察并分析表中的y與x之間的對應關系，用所學過的一次函數，反比例函數或二次函數的有關知識寫出y（萬個）與x（元/個）的函數解析式．
（2）求出該公司銷售這種計算器的凈利潤z（萬元）與銷售價格x（元/個）的函數解析式，銷售價格定為多少元時凈利潤最大，最大值是多少？
（3）該公司要求凈利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：根據表格中數據可得出：y與x是一次函數關系，設解析式為：y=ax+b，依題可得：
，
∴.
∴函數解析式為：y=-x+8.

（2）解：根據題意得：z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（ x+8）﹣40= （x﹣50）2+50，
∵ ＜0，
∴x=50，z最大=50.
∴該公司銷售這種計算器的凈得利潤z解析式為z=-x2 +10x﹣200，銷售價格定為50元/個時凈得利潤最大，最大值是50萬元.

（3）解：當公司要求凈得利潤為40萬元時，即 (x50)2 +50=40，
解得：x1=40，x2=60；
作函數圖象的草圖，通過觀察函數y= (x50)2 +50的圖象，可知按照公司要求使凈得利潤不低于40萬元，則銷售價格的取值范圍為：40≤x≤60．
而y與x的函數關系式為：y=-x+8，y隨x的增大而減少，還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為40元/個.

【解析】（1）根據表格中數據可得出y與x是一次函數關系，設解析式為：y=ax+b，依題可列二元一次方程組，解之即可得出答案.
（2）根據利潤=每個利潤×數量得出z與x的函數關系式：z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（ x+8）﹣40= （x﹣50）2+50，根據函數性質即可得出答案.
（3）由（2）中得出得函數解析式，令z=40，解方程即可得出銷售價格x1=40，x2=60；需考慮銷售量盡可能大，再由函數圖像性質得出銷售價格應定為40元/個.
【考點精析】掌握一次函數的性質和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減��；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．