Question

【題目】如圖①，OA＝2，OB＝4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC.

(1)求C點的坐標；

(2)如圖②，OA＝2，P為y軸負半軸上一個動點，當P點在y軸負半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP－DE的值．

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為(－6，－2)；（2）OP－DE＝2.

【解析】（1）如圖1，過C作CM⊥x軸于M點，則可以求出△MAC≌△OBA，可得CM=OA=2，MA=OB=4，故點C的坐標為（-6，-2）．
（2）如圖2，過D作DQ⊥OP于Q點，則DE=OQ利用三角形全等的判定定理可得△AOP≌△PQD（AAS）進一步可得PQ=OA=2，即OP-DE=2．

(1)如圖①，過C作CM⊥x軸于M點，

則∠CMA＝90°.

∵△ABC為等腰直角三角形，且∠AOB＝90°，

∴∠BAC＝90°，AC＝BA，

∴∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，則∠MAC＝∠OBA.

在△MAC和△OBA中，

∠CMA＝∠AOB，∠MAC＝∠OBA，AC=BA，

∴△MAC≌△OBA(AAS)，

∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，

∴OM＝OA＋AM＝2＋4＝6，

∴點C的坐標為(－6，－2)．

(2)如圖②，過D作DQ⊥OP于Q點，

則∠PQD＝90°，DE＝OQ，

∴OP－DE＝OP－OQ＝PQ.

∵△APD為等腰直角三角形，且∠AOP＝90°，

∴∠APD＝90°，AP＝PD，∴∠APO＋∠QPD＝90°，∠APO＋∠OAP＝90°，

∴∠QPD＝∠OAP.

在△AOP和△PQD中，

∠AOP=∠PQD，∠QPD＝∠OAP，AP=PD，

∴△AOP≌△PQD(AAS)．

∴PQ＝OA＝2.即OP－DE＝2.