Question

【題目】如圖，在⊙O的內接四邊形ACDB中，AB為直徑，AC：BC＝1：2，點D為的中點，BE⊥CD垂足為E．

(1)求∠BCE的度數；

(2)求證：D為CE的中點；

(3)連接OE交BC于點F，若AB＝，求OE的長度．

Answer 1

【答案】（1）45°；　（2）見解析　（3）

【解析】（1）連接AD，由D為弧AB的中點，得到AD=BD ，根據圓周角定理即可得到結論；

（2）由已知條件得到∠CBE=45°，根據圓內接四邊形的性質得到∠A=∠BD，根據相似三角形的性質得到DE：AC=BE：BC，即可得出結論.

（3）連接CO，根據線段垂直平分線的判定定理得到OE垂直平分BC，由三角形的中位線到現在得到OF=AC，根據直角三角形的性質得到EF=BC，由勾股定理即可得到結論.

(1)解：連接AD，

∵D為弧AB的中點，∴AD＝BD，

∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°

∴∠DCB＝∠DAB＝45°；

(2)證明：∵BE⊥CD，又∵∠ECB＝45°，∴∠CBE＝45°，∴CE＝BE，

∵四邊形ACDB是圓O的內接四邊形，∴∠A+∠BDC＝180°，

又∵∠BDE+∠BDC＝180°，∴∠A＝∠BDE，

又∵∠ACB＝∠BED＝90°，∴△ABC∽△DBE，

∴DE：AC＝BE：BC，∴DE：BE＝AC：BC＝1：2，

又∵CE＝BE，∴DE：CE＝1：2，∴D為CE的中點；

(3)解：連接CO，∵CO＝BO，CE＝BE，∴OE垂直平分BC，

設OE交BC于F,則F為BC中點，又∵O為AB中點，∴OF為△ABC的中位線，

∴OF＝AC，

∵∠BEC＝90°，EF為中線，∴EF＝BC，

在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，

∵AC：BC＝1：2，AB＝，∴AC＝，BC＝2

∴OE＝OF+EF＝．