Question

【題目】在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P為AB上的一動(dòng)點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)E交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于Q，過(guò)E作EF⊥PQ交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，則下列結(jié)論：①△APE≌△DQE；②PQ=EF；③當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，CF=；④若H為QC的中點(diǎn)，當(dāng)P從A移動(dòng)到B時(shí)，線(xiàn)段EH掃過(guò)的面積為，其中正確的是（　　）

A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③

Answer 1

【答案】B

【解析】利用正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)一一判斷即可；

解：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，

∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，

∴△AEP≌△DEQ，故①正確，

②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，

∴∠PGQ=∠EMF=90°，

∵EF⊥PQ，

∴∠PEF=90°，

∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，

∴∠NPE=∠NEF，

∵PG=EM，

∴△EFM≌△PQG，

∴EF=PQ，故②正確，

③連接QF．則QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，設(shè)CF=x，

則（2+x）2+12=32+x2，

∴x=1，故③錯(cuò)誤，

④當(dāng)P在A(yíng)點(diǎn)時(shí)，Q與D重合，QC的中點(diǎn)H在DC的中點(diǎn)S處，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，QC的中點(diǎn)H與D重合，

故EH掃過(guò)的面積為△ESD的面積的一半為，故④正確．

故選B．

“點(diǎn)睛”本題考查了正方形，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．