Question

已知關于x的方程x²+2（k-3）x+k²=0有兩個實數根x₁、x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）若|x₁+x₂-9|=x₁x₂，求k的值．

Answer 1

（1）根據題意，得△≥0，
即[2（k-3）]²-4k²≥0，
解得，k≤

3

2

；

（2）根據韋達定理，得
x₁+x₂=-2（k-3），x₁x₂=k²，
∴由|x₁+x₂-9|=x₁x₂，得
|-2（k-3）-9|=k²，即|2k+3|=k²，
以下分兩種情況討論：
①當2k+3≥0，即k≥-

3

2

時，2k+3=k²，
即k²-2k-3=0，
解得，k₁=-1，k₂=3；
又由（1）知，k≤

3

2

，
∴-

3

2

≤k≤

3

2

，
∴k₂=3不合題意，舍去，
即k₁=-1；
②當2k+3＜0，即k＜-

3

2

時，-2k-3=k²，
即k²+2k+3=0，此方程無實數解．
綜合①②可知，k=-1．