Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF，在此運動變化的過程中，有下列結論：

①△DFE是等腰直角三角形；

②四邊形CEDF不可能為正方形；

③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發生變化；

④點C到線段EF的最大距離為．

其中正確結論的個數是（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

①連接CD（如圖1）。

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。

∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。

∴△DFE是等腰直角三角形。

故此結論正確。

②當E、F分別為AC、BC中點時，∵由三角形中位線定理，DE平行且等于BC。

∴四邊形CEDF是平行四邊形。

又∵E、F分別為AC、BC中點，AC=BC，∴四邊形CEDF是菱形。

又∵∠C=90°，∴四邊形CEDF是正方形。

故此結論錯誤。

③如圖2，分別過點D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點M，N，

由②，知四邊形CMDN是正方形，∴DM=DN。

由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。

∴由割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。

∴四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發生變化。

故此結論錯誤。

④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴FE=DF。

當DF與BC垂直，即DF最小時， EF取最小值2。此時點C到線段EF的最大距離為。

故此結論正確。

故正確的有2個：①④。故選B。

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