Question

【題目】(2016山西省第22題)（本題12分）綜合與實踐

問題情境

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數學活動，如圖1，將一張菱形紙片ABCD（）沿對角線AC剪開，得到和．

操作發現

（1）將圖1中的以A為旋轉中心，逆時針方向旋轉角，使 ，得到如圖2所示的，分別延長BC 和交于點E，則四邊形的狀是 ；

（2）創新小組將圖1中的以A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角，使，得到如圖3所

示的，連接DB，，得到四邊形，發現它是矩形．請你證明這個論；

（3）縝密小組在創新小組發現結論的基礎上，量得圖3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一個問題：將沿著射線DB方向平移acm，得到，連接，，使四邊形恰好為正方形，求a的值．請你解答此問題；

（4）請你參照以上操作，將圖1中的在同一平面內進行一次平移，得到，在圖4中畫出平移后構造出的新圖形，標明字母，說明平移及構圖方法，寫出你發現的結論，不必證明．

Answer 1

【答案】(1)、菱形；(2)、證明過程見解析；(3)、或；(4)、平行四邊形.

【解析】

試題分析：(1)、利用旋轉的性質和菱形的判定證明；(2)、利用旋轉的性質以及矩形的判定證；(3)、利用平移行性質和正方形的判定證明，需注意射線這個條件，所以需要分兩種情況當點在邊上和點在邊的延長線上時；(4)、開放型題目，答對即可.

試題解析：(1)、菱形

(2)、作于點E． 由旋轉得，．

四邊形ABCD是菱形，，，，，

同理，，又， 四邊形是平行四邊形，

又，，， ∴四邊形是矩形

(3)、過點B作，垂足為F，， ．

在Rt 中，，

在和中，， ．

∽，，即，解得，

，，．

當四邊形恰好為正方形時，分兩種情況：

①點在邊上．．

②點在邊的延長線上，

綜上所述，a的值為或．

(4)、答案不唯一．

平移及構圖方法：將沿著射線CA方向平移，平移距離為的長度，得到，連接．

結論：四邊形是平行四邊形