Question

已知直線l過點P（2，1），分別與x軸、y軸交于點A、B，且PA=PB．
（1）求直線l的函數解析式；
（2）設⊙Q是Rt△AOB的內切圓，分別與OA、OB、AB相切于點D、E、F，求證：AD、BE的長是方程x²-2x+4=0的兩個根．

Answer 1

解：（1）如圖，建立坐標系，依據題意構造Rt△ABC，過點P作PH⊥OA，垂足為H，
∵PA=PB，
∴OH=HA，
∴A（4，0），
設直線l的函數解析式為：y=kx+b，
∵點A（4，0）與P（2，1）在直線l上，
∴，
解得：；
∴直線l的函數解析式為：y=-x+2；

（2）由（1）知，在Rt△AOB中，AO=4，BO=2，AB=2，
∵⊙Q是Rt△AOB的內切圓，
∴AD=AF，BE=BF，OD=OE，
∴AD+BE=AF+BF=AB=2，
∴在直角三角形中，內切圓半徑r與三邊長的關系有：
OD=，
=，
=3-，
則AD=AO-OD=4-（3-）=1+，
BE=BO-OE=2-（3-）=-1，
∴AD•BE=（+1）（-1）=4，
由根與系數的關系得出AD、BE的長是方程x²-2x+4=0的兩個根．
分析：（1）根據點A（4，0）與P（2，1），利用待定系數法求出一次函數解析式即可；
（2）利用直角三角形內切圓的半徑求法，得出AD，BE的長度，再利用根與系數關系得出即可．
點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及直角三角形內切圓半徑求法和根與系數關系，根據已知得出AD，BE的長度是解題關鍵．