Question

【題目】已知：拋物線y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+2（m≠0）．

（1）求證：拋物線與x軸有交點(diǎn)；

（2）若拋物線與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，且x1+2x2＝1．

①求m的值；

②點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)G（n，﹣n﹣），求PG的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①m=1；②PG的最小值=

【解析】

（1）令y=0，再求出的方程的△是否大于等于0即可；

（2）①令y=0，解一元二次方程，再根據(jù)已知點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，且，求解即可；②先假設(shè)與直線平行的直線l的關(guān)系式為,

若直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)C,列方程，根據(jù)得b的值，則點(diǎn)C到直線的距離就是PG的最小值.

（1）當(dāng)y=0時(shí)，

.

∴拋物線與x軸有交點(diǎn);

（2）①當(dāng)y=0時(shí)，,

解得或,

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè),

∴,

∵，

∴ 當(dāng)，時(shí),1+2，解得m=1,

此時(shí)，，滿足，故m=1符合題意,

當(dāng)，時(shí),，解得m=2.

此時(shí)，，與矛盾，故m=2不符合題意.

∴m=1;

②

當(dāng)m=1時(shí),拋物線解析式為 ,

∵點(diǎn)G,

∴點(diǎn)G在直線上.

假設(shè)與直線平行的直線l的關(guān)系式

為,

若直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)C,

則此時(shí)方程 的,解得b=.

∴直線l的關(guān)系式 ,

如圖，直線l與x軸，y軸分別交于D，M兩點(diǎn)，直線

與y軸交于N點(diǎn)，

∴D（，0），M（0，）.

∴OD=，OM=.

∴MN=，

DM== ，

過(guò)點(diǎn)M作MH⊥HN，CE⊥EN，當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，G點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，PG長(zhǎng)最小，

此時(shí)△MHN∽△DOM，

∴，即，

∴PG=MH=,

即PG的最小值是 .

故答案為：（1）見(jiàn)解析；（2）①m=1；②PG的最小值=.