Question

【題目】如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點C，∠A＝28°．

(1)求∠ACM的度數；

(2)在MN上是否存在一點D，使ABCD＝ACBC，為什么？

Answer 1

【答案】(1)∠ACM＝62°；(2)存在符合條件的點D，使ABCD＝ACBC，理由見解析.

【解析】

(1)求∠ACM 的度數,需求出∠B 的度數;在 中,已知∠A 的度數,即可求出∠B 、∠ACM 的度數;
(2)乘積的形式通常可以轉化為比例的形式:
① ,此時需證 ,那么過B作MN的垂線,那么垂足即為符合條件的D點;
②,此時需證,則過A作MN的垂線,垂足也符合D點的條件.
兩者的證明過程一致,都是通過弦切角得出一組對應角相等,再加上一組直角得出三角形相似.

(1)∵AB是半圓的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝62°，

∵直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點C，

∴∠ACM＝∠B＝62°；

(2)存在符合條件的點D，使ABCD＝ACBC，

①過A作AD⊥MN于D，則ABCD＝ACBC，

證明：∵MN是半圓的切線，且切點為C，

∴∠ACD＝∠B，

∵∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ABC∽△ACD，

∴，

即ABCD＝ACBC；

②過B作BD⊥MN于D，則ABCD＝ACBC，

證明過程同①，

因此MN上存在至少一點D，使ABCD＝ACBC．