Question

【題目】（1）如圖①，OP是∠MON的平分線，點A為OP上一點，請你作一個∠BAC，B、C分別在OM、ON上，且使AO平分∠BAC（保留作圖痕跡）；

（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，△ABC的平分線AD，CE相交于點F，請你判斷FE與FD之間的數量關系（可類比（1）中的方法）；

（3）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB≠90°，而（2）中的其他條件不變，請問（2）中所得的結論是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）FE＝FD，證明詳見解析；（3）成立，證明詳見解析．

【解析】

（1）在射線OM，ON上分別截取OB＝OC，連接AB，AC，則AO平分∠BAC；

（2）過點F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得FG＝FH＝FK，根據四邊形的內角和定理求出∠GFH＝120°，再根據三角形的內角和定理求出∠AFC＝120°，根據對頂角相等求出∠EFD＝120°，然后求出∠EFG＝∠DFH，再利用“角角邊”證明△EFG和△DFH全等，根據全等三角形對應邊相等可得FE＝FD；

（3）過點F分別作FG⊥AB于點G，FH⊥BC于點H，首先證明∠GEF＝∠HDF，再證明△EGF≌△DHF可得FE＝FD．

解：（1）如圖①所示，∠BAC即為所求；

（2）如圖②，過點F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，

∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

∴FG＝FH＝FK，

在四邊形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，

∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∠B＝60°，

∴∠FAC+∠FCA＝（180°﹣60°）＝60°，

在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，

∴∠EFD＝∠AFC＝120°，

∴∠EFD＝∠GFH

∴∠EFG＝∠DFH，

在△EFG和△DFH中，

，

∴△EFG≌△DFH（ASA），

∴FE＝FD；

（3）成立，

理由：如圖c，過點F分別作FG⊥AB于點G，FH⊥BC于點H．

∴∠FGE＝∠FHD＝90°，

∵∠B＝60°，且AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，

∴∠FAC+∠FCA＝60°，F是△ABC的內心，

∴∠GEF＝∠BAC+∠FCA＝60°+∠BAD，

∵F是△ABC的內心，即F在∠ABC的角平分線上，

∴FG＝FH（角平分線上的點到角的兩邊相等）．

又∵∠HDF＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD（外角的性質），

∴∠GEF＝∠HDF．

在△EGF與△DHF中，

，

∴△EGF≌△DHF（AAS），

∴FE＝FD．