Question

【題目】已知兩個正數a，b，可按規則c=ab+a+b擴充為一個新數c，在a，b，c三個數中取兩個較大的數，按上述規則擴充得到一個新數，依次下去，將每擴充一次得到一個新數稱為一次操作。

（1）若a=1，b=3，按上述規則操作3次，擴充所得的數是__________；

（2）若p>q>0，經過3次操作后擴充所得的數為（m，n為正整數），則m，n的值分別為__________.

Answer 1

【答案】（1）255；（2）3，2

【解析】（1）a=1，b=3，按規則操作三次，第一次：c1=7；第二次c2=31；第三次c3=255；

（2）p>q>0，第一次得：c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)1；第二次得c2=(c1+1)(p+1)1= (p+1)2(q+1)1；所得新數大于任意舊數，第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)1=(p+1)3(q+1)21；故可得結論．

解： (1)a=1，b=3，按規則操作三次，

第一次：c1=ab+a+b=1×3+1+3=7；

第二次，7>3>1所以有：c2=3×7+3+7=31；

第三次：31>7>3所以有：c3=7×31+7+31=255；

(2)p>q>0，第一次得：c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)1；

因為c>p>q,所以第二次得：c2=(c1+1)(p+1)1=(pq+p+q)p+p+(pq+p+q)=(p+1)2(q+1)1；

所得新數大于任意舊數,所以第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)1=(p+1)3(q+1)21

∴m=3，n=2，