Question

【題目】如圖，E. F. G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.

(1)判斷四邊形EFGH的形狀，并說明你的理由；

(2)連接BD和AC,當BD、AC滿足何條件時,四邊形EFGH是正方形？證明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）四邊形EFGH是平行四邊形，證明詳見解析；（2）當BD=AC，且BD⊥AC時，EFGH是正方形，理由詳見解析.

【解析】試題分析：（1）連接AC，由E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，根據三角形中位線的性質，易得EF∥HG∥AC，且EF=HG=AC，則可得四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當BD=AC，易證得四邊形ABCD是菱形，當BD⊥AC時，易得∠EHG=90°，則可得四邊形EFGH是正方形．

試題解析：（1）四邊形EFGH是平行四邊形．

理由：連接AC，

∵E、F分別是AB、BC的中點，

∴EF∥AC，且EF=AC，

同理，HG∥AC，且HG=AC，

∴EF∥HG，且EF=HG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當BD=AC，且BD⊥AC時，EFGH是正方形．

理由：連接AC，BD，

∵E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，

∴EF=GH=AC，GH=FG=BD，EH∥BD，GH∥AC，

∵BD=AC，BD⊥AC，

∴EH=EF=FG=GH，EH⊥GH，

∴四邊形EFGH是菱形，∠EHG=90°，

∴四邊形EFGH是正方形．