Question

【題目】有兩張相同的矩形紙片ABCD和A′B′C′D′，其中AB=3，BC=8．

（1）若將其中一張矩形紙片ABCD沿著BD折疊，點A落在點E處（如圖1），設DE與BC相交于點F，求BF的長；

（2）若將這兩張矩形紙片交叉疊放（如圖2），判斷四邊形MNPQ的形狀，并證明．四邊形MNPQ的最大面積是_________.（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】①BF=②

【解析】試題分析：

（1）由折疊的性質結合AD∥BC易得∠FBD=∠ADB=∠FDB，由此可得BF=DF，設BF=x，結合DE=AD=BC=8，可得EF=8-x，結合BE=AB=3，在Rt△BEF中由勾股定理建立方程即可求得BF的值；

（2）①如圖3，過點Q作QE⊥PN于點E，過點N過NF⊥PQ于點F，則易證△QEP≌△NFP，從而可得PQ=PN，由已知條件易證四邊形MNPQ是平行四邊形，兩者結合即可得到四邊形MNPQ是菱形；

②如圖4，由題意可知，菱形MNPQ邊上的高是3，故當邊長越長時，面積越大，由題意可知，當點M與點A重合、點P與點C重合時，邊長MQ=AQ=QC，此時面積最大，在Rt△ABQ中，由勾股定理建立方程解出MQ的長，即可求得最大面積了.

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC=8，

∴∠ADB=∠DBC，

由折疊的性質可知，∠ADB=∠FDB，BE=AB=3，DE=AD=8，

∴∠DBC=∠FDB，

∴BF=DF，

設BF=x，則DF=x，

∴EF=8-x，

∵在Rt△BEF中，BF2=BE2+EF2,

∴，解得： ；

（2）①如圖2，四邊形MNPQ是菱形，理由如下：

過點Q作QE⊥PN于點E，過點N過NF⊥PQ于點F，

∴∠PEQ=∠PFN=90°，

∵兩張紙條等寬，

∴NF=QE，

∵∠NPF=∠QPE，

∴△QEP≌△NFP，

∴PQ=PN，

∵由題意可得：MN∥PQ，MQ∥NP，

∴四邊形MNPQ是平行四邊形，

∴四邊形MNPQ是菱形；

②如圖4，由題意和①可知，菱形MNPQ邊上的高是3，故當菱形MNPQ的邊長越長時，其面積越大，由圖4可知，當點M與點A重合、點P與點C重合時，邊長MQ=AQ=QC，此時面積最大，

設AQ=QP=a，則BQ=BC-QC=8-a，

∵在Rt△ABQ中，AQ2=AB2+BQ2，

∴，解得： ，

∴菱形MNPQ的最大面積為： .