Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于A（1，a）、B（b，1）兩點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）S△PAB=.

【解析】

(1)先確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后找到點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，令y=0，繼而可求得點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)由三角形面積公式根據(jù)S△PAB=S△ABD-S△BDP列式計(jì)算即可.

(1)當(dāng)x=1時(shí)，y＝﹣x+4=3，即a= 3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3)，

將點(diǎn)A(1，3)代入y=中，

3=，解得：k=3，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=；

(2)y＝﹣x+4，當(dāng)y= 1時(shí)，1=-x+4，x=3，即b=3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，1)，

作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，如圖所示，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，1)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，-1)，

設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n，

將點(diǎn)A(1，3)、D(3，-1)代入y=mx+n中，

，解得：，

∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+5，

當(dāng)y=-2x+5=0時(shí)，，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)；

(3)S△PAB=S△ABD-S△BDP=×2×2-×2×=．