Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y＝ax2+bx+c經過A、B、C（1，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）觀察圖象，寫出不等式ax2+bx+c＞﹣x+3的解集為　 　；

（3）若點D的坐標為（﹣1，0），在直線y＝﹣x+3上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）x＜0或x＞3；（3）P1（﹣1，4），P2（1，2）．

【解析】

（1）根據題意首先利用交點式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），進而得出a的值即可；

（2）由題意直接利用函數圖象得出ax2+bx+c＞﹣x+3的解集即為交點兩側兩圖象在上面的則對應函數值大，否則就小，進而得出答案；

（3）根據題意分析①若△ABO∽△AP1D，②若△ABO∽△ADP2，進而分別得出P點坐標即可．

解：（1）由題意得出：A（3，0），B（0，3），

∵拋物線y＝ax2+bx+c經過A、B、C（1，0）三點，

∴設y＝a（x﹣1）（x﹣3），（a≠0），

∴a×（﹣1）×（﹣3）＝3，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣4x+3；

（2）∵A（3，0），B（0，3），

∴利用圖象可得出：不等式ax2+bx+c＞﹣x+3的解集為：x＜0或x＞3；

故答案為：x＜0或x＞3；

（3）由題意得：△ABO為等腰直角三角形，如圖所示：

①若△ABO∽△AP1D，

則＝，

∴DP1＝AD＝4，

∴P1（﹣1，4）；

②若△ABO∽△ADP2，過點P2作P2M⊥x軸于點M，AD＝4，

∵△ABO為等腰直角三角形，

∴△ADP2是等腰直角三角形，由三線合一可得：DM＝AM＝2＝P2M，

∴MO＝1，

∴P2（1，2）．