Question

如圖1，在同一平面內,將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為，若∆ABC固定不動，∆AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合,點E不與點C重合),設BE=m，CD=n

（1）請在圖1中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對證明它們相似；

（2）根據圖1，求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍；

（3）以∆ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖2). 旋轉∆AFG，使得BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證；

(4）在旋轉過程中,(3)中的等量關系是否始終成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

(1)∆ABE∽∆DAE,  ∆ABE∽∆DCA，證明見解析(2)

（3）（1- ，0），證明見解析(4）成立，證明見解析

【解析】解:(1)∆ABE∽∆DAE,  ∆ABE∽∆DCA                                   1分

∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA   又∠B=∠C=45°

∴∆ABE∽∆DCA       3分

(2)∵∆ABE∽∆DCA   ∴  由依題意可知 

 ∴                                5分

   自變量n的取值范圍為               6分

 (3) ∵BD=CE，

∴BE=CD．

∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，

∴△ABE≌△ACD．

∴AD=AE．

∵△BAE∽△CDA，

∴CD=AB=，易得CO=1．

∴OD=-1，那么點D的坐標為（1- ，0）．

∵BD=2-，CE=2-，DE=2-2BD=2 -2，

∴BD²+CE²=DE²．

(4)成立                       10分

證明:如圖,將∆ACE繞點A順時針旋轉90°至∆ABH的位置,則CE=HB,AE=AH,

∠ABH=∠C=45°,旋轉角∠EAH=90°. 連接HD,在∆EAD和∆HAD中

∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.∴∆EAD≌∆HAD

∴DH=DE  又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°

∴BD+HB=DH 即BD＋CE=DE           12分

（1）根據“AAA”，可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE；

（2）由（1）知，△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，則有△ABE∽△DCA，因為相似三角形的對應邊成比例，所以，，再把已知數據代入求解即可．

（3）由BD=CE得BE=CD，那么可得△ABE≌△ACD，則AD=AE，加上（1）中的相似，可得CD=AB= ，由OC=1得到點D的坐標，進而表示出所求的代數式．

（4）可旋轉一特殊角的度數，求解，得到一般結論．