Question

如圖，拋物線交x軸于點A（-2，0），點B（4，0），交y軸于點C（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）若直線y=-x交拋物線于M，N兩點，交拋物線的對稱軸于點E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設P為直線MN上的動點，過P作PF∥ED交直線MN下方的拋物線于點F．問：在直線MN上是否存在點P，使得以P、E、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P及相應的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設所求的拋物線解析式y=ax²+bx+c，
∵點A、B、C均在此拋物線上，
∴
∴
∴所求的拋物線解析式為y=-x-4，
即y=（x-1）²-，
∴頂點D的坐標為（1，-），

（2）△EBC的形狀為等腰三角形，
證明：
∵直線MN的函數解析式為y=-x，
∴ON是∠BOC的平分線，
∵B、C兩點的坐標分別為（4，0），（0，-4），
∴CO=BO=4，
∴MN是BC的垂直平分線，
∴CE=BE，
即△ECB是等腰三角形，

（3）答：存在，
∵PF∥ED，
∴要使以P、E、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形，只要使PF=ED，
∵點E是拋物線的對稱軸和直線的交點，
∴E點的坐標為（1，-1），
∴ED=-1-（-）=，
∵點P是直線上的動點，
∴設P點的坐標為（k，-k），
則直線PF的函數解析式為x=k，
∵點F是拋物線和直線PF的交點，
∴F的坐標為（k，），
∴PF=，
∴-，
∴k=±1，
當k=1時，點P的坐標為（1，-1），F的坐標為（1，），
此時PF與ED重合，不存在以P、F、D、E為頂點的平行四邊形，
當k=-1時，點P的坐標為（-1，1），F的坐標為（-1，），
此時，四邊形PFDE是平行四邊形．
分析：（1）小題把已知點A B C的坐標代入解析式即可求出拋物線的解析式；
（2）小題利用解析式y=-x，求出ON是∠BOC的平分線，進一步證出MN是BC的垂直平分線，就能判斷三角形的形狀；
（3）小題利用已知點的坐標和平行四邊形的性質設出P點的坐標就能分別求出未知點P F的坐標．
點評：解此題的關鍵是檢查對求拋物線的解析式的掌握（即已知拋物線上點的坐標求解析式），能利用點的坐標特點解決幾何問題（判斷三角形的形狀）．突破點是利用平行四邊形的性質求出P、F 的坐標，并進行分類討論進一步求出答案．