Question

如圖，拋物線交x軸于點A（-2，0），點B（4，0），交y軸于點C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）若直線y=x交拋物線于M，N兩點，交拋物線的對稱軸于點E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設P為直線MN上的動點，過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點F．問：在直線MN上是否存在點P，使得以P，E，D，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P及相應的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式是：y=a（x+2）（x-4），將（0，4）代入，求出a=-

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2

，即可得到拋物線的解析式，把解析式化成頂點式即可求出頂點坐標；
（2）△EBC應為鈍角三角形．根據直線MN⊥BC于直線點Q，求出tan∠EBQ=

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2

，得出∠EBQ＜45°即可；
（3）存在．設點P的坐標為點（x₀，y₀）（x₀=y₀），只要PF∥ED，PF=ED，根據點F在拋物線上，求出|Y_F-Y₀|=DE=

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2

，求出x₀=-1，即可得到點P的坐標和點F的坐標．

解答：解：（1）設拋物線的解析式是：y=a（x+2）（x-4），
將（0，4）代入，得a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+x+4，
∴y=-

1

2

 (x2-2x-8)=-

1

2

 (x-1)2+

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2

，頂點D為（1， 

9

2

）；
答：拋物線的解析式是y=-

1

2

x²+x+4，頂點D的坐標是（1，

9

2

）．

（2）答：△EBC應為鈍角三角形．
證明：∵直線MN⊥BC于直線點Q，
在直角三角形EBQ中，tan∠EBQ=

1

2

，
∴∠EBQ＜45°，
可得∠BEC為鈍角，
∴△EBC應為鈍角三角形．
∵△OEC≌△OEB，
∴EB=EC，
∴△EBC也是等腰三角形．

（3）解：存在．
設點P的坐標為點（x₀，y₀）（x₀=y₀），
∵PF∥ED，
∴只需使得PF=ED，
∵點F在拋物線上，
∴yF=-

1

2

x

2 0

+x0+4，|yF-y0| =-

1

2

x

2 0

+4=|ED| =

7

2

，
可解得x₀=±1，取x₀=-1，
則存在點P的坐標為（-1，-1），點F的坐標為（-1， 

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2

），符合題目的條件，
答：存在，點P的坐標為（-1，-1），點F的坐標為（-1， 

5

2

）．

點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，銳角三角函數的定義，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行計算是解此題的關鍵，題目比較典型，難度適中．