Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0，

（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；

（2）設方程的兩根分別為x1、x2，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）的最小值為．

【解析】試題分析：（1）根據方程的系數結合根的判別式，即可得出△＝1＞0，由此即可證出方程總有兩個不相等的實數根；

（2）根據根與系數的關系可得x1＋x2＝2m＋1、x1x2＝m(m＋1)，利用配方法可將x12＋x22變形為(x1＋x2)2－2 x1x2，代入數據即可得出x12＋x22＝2(m＋)2＋，進而即可得出x12＋x22的最小值．

試題解析：

（1）證明：∵△＝[﹣(2m＋1)]2﹣4m(m＋1)＝1＞0，

∴方程總有兩個不相等的實數根；

（2）解：∵方程的兩根分別為x1、x2，

∴x1＋x2＝2m＋1、x1x2＝m(m＋1)，

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2 x1x2＝(2m＋1)2﹣2m(m＋1)＝2m2＋2m＋1＝2，

∴x12＋x22的最小值為．