Question

【題目】已知拋物線的頂點P在x軸上，與y軸相交于點A．

Ⅰ求點A的縱坐標用含b的式子表示；

Ⅱ當時，y有最大值9，求b的值；

Ⅲ點B在拋物線上，且，連接AB，交對稱軸于點C．

求證：PC為定長；

直接寫出面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1) 點A的縱坐標為（2）或；（3）為定長1；面積的最小值為1．

【解析】

由拋物線與x軸只有一個交點，利用根的判別式可得出，再利用二次函數圖象上點的坐標特征即可求出點A的坐標，此問得解；

分及兩種情況考慮，若，則當時y取最大值，進而可得出關于b的一元二次方程，解之可求出b值；若，則當時y取最大值，進而可得出關于b的一元二次方程，解之可求出b值綜上即可得出結論；

作軸于點D，則∽，利用相似三角形的性質可得出，設點B的坐標為，結合點A、P的坐標，即可得出，由點A、B的坐標利用待定系數法可求出直線AB的解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，進而可得出；

由、可得出，根據三角形的面積公式可得出，利用完全平方公式可得出，此題得解．

解：Ⅰ拋物線的頂點在x軸上，

，

，

拋物線．

當時，，

點A的縱坐標為．

Ⅱ若，則當時，，

或舍去；

若，則當時，，

或舍去．

綜上所述，或．

Ⅲ作軸于點D，如圖所示．

，，

，，

．

又，

∽，

，

．

設點B的坐標為，

，，

，，，，

．

，，

，

，即．

由，，可得直線AB解析式為．

當時，，

點C的坐標為，

為定長1．

，，

，

，

面積的最小值為1．