Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由．

Answer 1

【答案】證明（1）：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四邊形AEBD是矩形；
（2）當∠BAC=90°時，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
【解析】（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而由等腰三角形的性質得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性質得出AD=BD=CD，進而利用正方形的判定得出即可．