Question

已知：如圖，BD為∠ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD的延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結論：①∠ABE=∠ACE；②∠BCE+∠BCD=180°；③AE=EC；④BE+BD=2BF，其中正確的是（　　）

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．①②③④

Answer 1

分析：由BD為角平分線得到一對角相等，再由BD=BC，BE=BA，可得出三角形ABE與三角形BCD為相似的等腰三角形，即兩三角形底角相等，再由對頂角相等，得到三角形ADE與BDC相似，由相似得比例且得到一對角相等，再由對應角相等，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出三角形ADB與三角形CED相似，由相似三角形的對應角相等得到∠ABE=∠ACE，故選項①正確；由題意得出A、B、C、E四點共圓，利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補即可得到∠BCE+∠BAE=180°，等量代換可得出∠BCE+∠BCD=180°，故選項②正確；等量代換可得出∠ACE=∠CAE，利用等角對等邊可得出AE=EC，故選項③正確；過E作EM垂直于BC，由BE為角平分線，EF垂直于AB，利用角平分線定理得到AF=CM，等量代換即可得到BD+BE=2BF，故選項④正確，即可得到正確的選項為D．

解答：解：∵BD為∠ABC的角平分線，
∴∠ABE=∠CBE，
又BD=BC，BA=BE，
∴∠BCD=

180°-∠CBE

2

，∠BEA=

180°-∠ABE

2

，即∠BCD=∠BEA，
又∠BDC=∠ADE，
∴△ADE∽△BCD，
∴

AD

BD

=

DE

CD

，∠DAE=∠CBE，
∴∠ABE=∠DAE，
又∠ADB=∠EDC，
∴△ADB∽△EDC，
∴∠ACE=∠ABE，故選項①正確；
∴A、B、C、E四點共圓，
∴∠BCE+∠BAE=180°，又∠BCD=∠BAE，
∴∠BCE+∠BCD=180°，故選項②正確；
∴∠DAE=∠ACE，
∴AE=EC，故選項③正確；
過E作BC延長線的垂線，垂足為M，如圖所示：

∵∠BCE+∠BAE=180°，∠BCE+∠ECM=180°，
∴∠BAE=∠ECM，
又BE為∠ABC平分線，EF⊥AB，EM⊥BM，
∴EF=EM，
在△AEF和△CEM中，

∠BAE=∠ECM ∠AFE=∠CME=90° EF=EM

，
∴△AEF≌△CEM（AAS），
∴AF=CM，又AB=EB，BC=BD，
則BE+BD=AB+BC=BF+AF+BC=BF+BC+CM=BF+BF=2BF，
故選項④正確，
則其中正確的是①②③④．
故選D

點評：此題考查了角平分線定理，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質，利用了轉化及等量代換的數(shù)學思想，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．