Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O，D分別為AB，BC上的點，經過A，D兩點的⊙O分別交AB，AC于點E，F，且D為弧EF的中點．

(1)求證：BC與⊙O相切；

(2)當⊙O的半徑r＝2，∠CAD＝30°時，求劣弧AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）連接OD．欲證明BC與 O相切，只要證明BC⊥OD即可；

（2）由同弧所對的圓周角相等可以推知∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°；可得∠AOD=120°，由弧長的計算公式求解即可．

(1)如圖，連結OD，則OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA(等邊對等角)．

∵，

∴∠OAD＝∠CAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC.

∵∠C＝90°，

∴∠ODC＝90°，即BC⊥OD，

∴BC與⊙O相切；

(2)∵∠OAD＝∠ODA＝∠CAD＝30°，

∴∠AOD＝120°.

∵⊙O的半徑r＝2，

∴劣弧AD的長為.