Question

點P在圖形M上, 點Q在圖形N上,記為線段PQ長度的最大值，為線段PQ長度的最小值，圖形M，N的平均距離．
（1）在平面直角坐標系中，⊙O是以O為圓心，2的半徑的圓，且A，B，求及；(直接寫出答案即可)
（2）半徑為1的⊙C的圓心C與坐標原點O重合，直線與軸交于點D，與軸交于點F，記線段DF為圖形G，求；
（3）在（2）的條件下，如果⊙C的圓心C從原點沿軸向右移動，⊙C的半徑不變，且，求圓心C的橫坐標．

Answer 1

（1）2，4；（2）3；（3）或.

試題分析：（1）作出圖形，根據定義求解；（2）如圖，過點O作OH⊥DF于點H，交圓C于點M，圓C與x軸的左交點為點N，根據點到直線上一點的距離的最小值為該點到垂足的距離可知，，從而應用直線上點的坐標與方程的關系和銳角三角函數（或相似三角形）知識求出OH，進而求出MH，又，因此根據定義可求；（3）分，，，四種情況討論即可.
試題解析：（1）如圖，根據勾股定理可求：OA=1，OB=4，
∴.
∴， .

（2）如圖，過點O作OH⊥DF于點H，交圓C于點M，圓C與x軸的左交點為點N，則
根據點到直線上一點的距離的最小值為該點到垂足的距離可知，，
∵直線與軸交于點D，與軸交于點F，∴D（4，0），F（0，），即OD=4，OF=.
∴.∴.∴.∴.
又，∴.

（3）設點C的橫坐標為x（x≥0），
當時，線段與圓無公共點，圓心離點D最遠，，解得：.
當時，線段與圓無公共點，圓心離點F最遠， ，解得：（不符合，舍去）.
當時，線段與圓有公共點，，解得：（舍去負值）.
當時，，不符合題意舍去.
綜上所述，點C的橫坐標為或.