Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣ x﹣ 與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2﹣ x+c（a≠0）經(jīng)過A，B，C三點．

（1）求過A，B，C三點拋物線的解析式并求出頂點F的坐標；
（2）在拋物線上是否存在點P，使△ABP為直角三角形？若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）試探究在直線AC上是否存在一點M，使得△MBF的周長最小？若存在，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣ x﹣ 與x軸交于點A，與y軸交于點C

∴點A（﹣1，0），C（0，﹣ ）

∵點A，C都在拋物線上，

∴

∴

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣

∴頂點F（1，﹣ ）

（2）

解：方法一：存在：

p1（0，﹣ ），p2（2，﹣ ）

方法二：

設P（t， ），A（﹣1，0），B（3，0），

∵PA⊥PB，∴KPA×KPB=﹣1，

=﹣1，

∴（t+1）（t﹣3）=﹣3，∴t1=0，t2=2，

∴P1（0，﹣ ），P2（2，﹣ ）．

（3）

解：存在

理由：

解法一：

延長BC到點B′，使B′C=BC，連接B′F交直線AC于點M，則點M就是所求的點，

∵過點B′作B′H⊥AB于點H，

∵B點在拋物線y= x2﹣ x﹣ 上，

∴B（3，0），

在Rt△BOC中，tan∠OBC=

∴∠OBC=30°，BC=2

在Rt△B′BH中，B′H= BB′=2

BH= B′H=6，∴OH=3，

∴B′（﹣3，﹣2 ）．

設直線B′F的解析式為y=kx+b，

∴ ，

解得 ，

∴y= ．

，

解得 ，

∴M（ ）

∴在直線AC上存在點M，使得△MBF的周長最小，此時M（ ）．

解法二：

過點F作AC的垂線交y軸于點H，則點H為點F關于直線AC的對稱點，連接BH交AC于點M，則點M

即為所求．

過點F作FG⊥y軸于點G，則OB∥FG，BC∥FH，

∴∠BOC=∠FGH=90°，∠BCO=∠FHG

∴∠HFG=∠CBO

同方法一可求得B（3，0）

在Rt△BOC中，tan∠OBC=

∴∠OBC=30°，可求得GH=GC=

∴GF為線段CH的垂直平分線，可證得△CFH為等邊三角形

∴AC垂直平分FH

即點H為點F關于AC對稱點，

∴H（0，﹣ ）

設直線BH的解析式為y=kx+b，由題意得， ，

解得 ，

∴y= ，

，

解得 ，

∴M（ ），

∴在直線AC上存在點M，使得△MBF的周長最小，此時M（ ）

【解析】（1）拋物線解析式中有兩個待定系數(shù)a，c，根據(jù)直線AC解析式求點A、C坐標，代入拋物線解析式即可；（2）分析不難發(fā)現(xiàn)，△ABP的直角頂點只可能是P，根據(jù)已知條件可證AC2+BC2=AB2 ， 故點C滿足題意，根據(jù)拋物線的對稱性，點C關于拋物線對稱軸的對稱點也符合題意；（3）由于B，F(xiàn)是定點，BF的長一定，實際上就是求BM+FM最小，找出點B關于直線AC的對稱點B'，連接B'F，交AC于點M，點M即為所求，由（2）可知，BC⊥AC，延長BC到B'，使BC=B'C，利用中位線的性質(zhì)可得B'的坐標，從而可求直線B'F的解析式，再與直線AC的解析式聯(lián)立，可求M點坐標．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．