Question

圖1是只有一組對角為直角的四邊形（我們規定這一類四邊形的集合為M），連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個四邊形的“直徑”（相當于經過這個四邊形的四個頂點的圓的直徑）．
（1）識圖：如圖1，四邊形ABCD的直徑是線段

BD

；
（2）判斷：如圖2，在坐標系中（網格小方格的單位長為1）的四邊形EFGH是否為M中的四邊形？給出簡要說明；
（3）思考、操作并解決問題：在圖2中找到一個點P，使四邊形EFPH為M中的四邊形，并且這個四邊形用一條直線分割成兩塊后可以拼成一個正方形．要求：寫出點P的坐標、畫出分割線，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理得出直徑為BD即可；
（2）首先利用網格求出線段長，得出△HMG∽△GNF，進而得出，∠HGF=90°，即可得出答案；
（3）利用正方形的性質以及全等三角形的判定與性質分析得出即可．

解答：解：（1）根據圓周角定理得出：
四邊形ABCD的直徑是線段BD；

（2）如圖2，四邊形EFGH為M中的四邊形，
理由：∵HM=2，MG=4，NG=4，NF=8，
∴

MH

NG

=

MG

NF

=

1

2

，
∵∠HMG=∠GNF，
∴△HMG∽△GNF，
∴∠NFG=∠MGH，
∵∠NFG+∠NGF=90°，
∴∠MGH+∠FGN=90°，
∴∠HGF=90°，
又∵∠FEM=90°，∠EHG≠90°，
∴四邊形EFGH為M中的四邊形；

（3）如圖2所示：P點坐標為：（7，7），沿紅色直線分割即可得出兩部分，可以組成正方形；
∵在△PSH和△PWF中

PS=PW ∠PSH=∠PWF SH=WF

∴△PSH≌△PWF（SAS），
∴PF=PH，
故可以組成邊長為7的正方形．
故答案為：BD．

點評：此題主要考查了圓周角定理以及新定義和相似三角形的判定與性質等知識，利用網格得出三角形各邊長度進而得出相似三角形以及全等三角形是解題關鍵．