Question

如圖①，在直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以OA為邊在第一象限內作正方形OABC，點D是x軸正半軸上一動點（OD＞1），連接BD，以BD為邊在第一象限內作正方形DBFE，設M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．
（1）試找出圖1中的一個損矩形；
（2）試說明（1）中找出的損矩形的四個頂點一定在同一個圓上；
（3）隨著點D位置的變化，點N的位置是否會發生變化？若沒有發生變化，求出點N的坐標；若發生變化，請說明理由；
（4）在圖②中，過點M作MG⊥y軸于點G，連接DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據題中給出的損矩形的定義，從圖找出只有一組對角是直角的四邊形即可；
（2）證明四邊形BADM四個頂點到BD的中點距離相等即可；
（3）利用同弧所對的圓周角相等可得∠MAD=∠MBD，進而得到OA=ON，那么就求得了點N的坐標；
（4）根據正方形的性質及損矩形含有的直角，利用勾股定理求解．

解答：解：（1）從圖中我們可以發現四邊形ADMB就是一個損矩形．
∵點M是正方形對角線的交點，
∴∠BMD=90°，
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ADMB就是一個損矩形．

（2）取BD中點H，連接MH，AH．
∵四邊形OABC，BDEF是正方形，
∴△ABD，△BDM都是直角三角形，
∴HA=

1

2

BD，HM=

1

2

BD，
∴HA=HB=HM=HD=

1

2

BD，
∴損矩形ABMD一定有外接圓．

（3）∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H，
∴∠MAD=∠MBD，
∵四邊形BDEF是正方形，
∴∠MBD=45°，
∴∠MAD=45°，
∴∠OAN=45°，
∵OA=1，
∴ON=1，
∴N點的坐標為（0，-1）．

（4）延長AB交MG于點P，過點M作MQ⊥x軸于點Q，
設點MG=x，則四邊形APMQ為正方形，
∴PM=AQ=x-1，
∴OG=MQ=x-1，
∵△MBP≌△MDQ，
∴DQ=BP=CG=x-2，
∴MN²=2x²，
ND²=（2x-2）²+1²，
MD²=（x-1）²+（x-2）²，
∵四邊形DMGN為損矩形，
∴2x²=（2x-2）²+1²+（x-1）²+（x-2）²，
∴2x²-7x+5=0，
∴x=2.5或x=1（舍去），
∴OD=3，
∴D點坐標為（3，0）．

點評：解決本題的關鍵是理解損矩形的只有一組對角是直角的性質，綜合考查了四點共圓的判定及勾股定理的應用．