Question

【題目】如圖，已知點I是△ABC的角平分線的交點．若AB＋BI＝AC，設∠BAC＝α，則∠AIB＝______（用含α的式子表示）

Answer 1

【答案】

【解析】

在AC上截取AD=AB，易證△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，

設∠DCI=β，則∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形內角和可推出β與α的關系，進而求得∠AIB.

解：如圖所示，在AC上截取AD=AB，連接DI，

點I是△ABC的角平分線的交點

所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，

在△ABI和△ADI中，

∴△ABI≌△ADI（SAS）

∴DI=BI

又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC

∴DI=DC

∴∠DCI=∠DIC

設∠DCI=∠DIC=β

則∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β

在△ABC中，

∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即，

∴

在△ABI中，