Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象，經過點A（1，0），B（3，0），C（0，3）三點，過點C，D（﹣3，0）的直線與拋物線的另一交點為E．

（1）請你直接寫出：

①拋物線的解析式　 　；

②直線CD的解析式　 　；

③點E的坐標（　 　，　 　）；

（2）如圖1，若點P是x軸上一動點，連接PC，PE，則當點P位于何處時，可使得∠CPE＝45°，請你求出此時點P的坐標；

（3）如圖2，若點Q是拋物線上一動點，作QH⊥x軸于H，連接QA，QB，當QB平分∠AQH時，請你直接寫出此時點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣4x+3，②y＝x+3，③（5，8）；（2）P1（1，0），P2（9，0）；（3）Q（3+，3+2）．

【解析】

（1）①假設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），將A，B代入，即可求出拋物線的解析式；

②設直線CD的解析式為y＝kx+b，將C，D代入可得直線CD的解析式；

③聯立兩個解析式可得E點坐標；

（2）過點E作EH⊥x軸于H，由已知可推出CD＝，DE＝，EC＝，△ECP∽△EPD，由此可得PE2，根據勾股定理可得PH，由此即可求出點P的坐標；

（3）延長QH到M，使得HM＝1，連接AM，BM，延長QB交AM于N，設Q（t，t2﹣4t+3），由題意得點Q只能在點B的右側的拋物線上，則QH＝t2﹣4t+3，BH＝t﹣3，AH＝t﹣1，由此可推出△QHB∽△AHM，據此可得QN⊥AM，當BM＝AB＝2時，QN垂直平分線段AM，此時QB平分∠AQH，根據勾股定理可得t值，即可推出點Q坐標．

（1）①∵拋物線經過A（1，0），B（3，0），

∴可以假設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得到a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3；

②設直線CD的解析式為y＝kx+b，則有，

解得，

∴直線CD的解析式為y＝x+3；

③由，解得或，

∴E（5，8），

故答案為：y＝x2﹣4x+3，y＝x+3，（5，8）；

（2）如圖1中，過點E作EH⊥x軸于H，

∵C（0，3），D（﹣3，0），E（5，8），

∴OC＝OD＝3，EH＝8，

∴∠PDE＝45°，CD＝，DE＝，EC＝，

當∠CPE＝45°時，∵∠PDE＝∠EPC，∠CEP＝∠PED，

∴△ECP∽△EPD，

∴，

∴PE2＝ECED＝80，

在Rt△EHP中，PH＝＝＝4，

∴把點H向左或向右平移4個單位得到點P，

∴P1（1，0），P2（9，0）；

（3）延長QH到M，使得HM＝1，連接AM，BM，延長QB交AM于N，

設Q（t，t2﹣4t+3），由題意得點Q只能在點B的右側的拋物線上，則QH＝t2﹣4t+3，BH＝t﹣3，AH＝t﹣1，

∴＝＝t﹣3＝，

∵∠QHB＝∠AHM＝90°，

∴△QHB∽△AHM，

∴∠BQH＝∠HAM，

∵∠BQH+∠QBH＝90°，∠QBH＝∠ABN，

∴∠HAM+∠ABN＝90°，

∴∠ANB＝90°，

∴QN⊥AM，

∴當BM＝AB＝2時，QN垂直平分線段AM，此時QB平分∠AQH，

在Rt△BHM中，BH＝＝＝，

∴t＝3+，

∴Q（3+，3+2）．