Question

△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，以D為頂點作∠MDN=∠B．

（1）如圖（1）當射線DN經過點A時，DM交AC邊于點E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．
（2）如圖（2），將∠MDN繞點D沿逆時針方向旋轉，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F點（點E與點A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論．
（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當△DEF的面積等于△ABC的面積的時，求線段EF的長．

Answer 1

（1）見解析      （2）見解析    （3）5

試題分析：1）圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
證明：∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE，
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
證明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴．
∵BD=CD，
∴．
又∵∠C=∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF．  
（3）連接AD，過D點作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H．
∵AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，BD=BC=6．
在Rt△ABD中，AD²=AB²﹣BD²，
∴AD=8
∴S_△ABC=BC•AD=×12×8=48．
S_△DEF=S_△ABC=×48=12．
又∵AD•BD=AB．DH，
∴DH===，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD  
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=．
∵S_△DEF=×EF×DG=12，
∴EF==5．


點評：此題主要考查了相似三角形判定與性質以及三角形面積計算，熟練應用相似三角形的性質與判定得出對應用邊與對應角的關系是解題關鍵．