Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，點在點的左側，拋物線的頂點為，規定：拋物線與軸圍成的封閉區域稱為“區域”(不包含邊界)．

(1)如果該拋物線經過(1，3)，求的值，并指出此時“區域”有_____個整數點；(整數點就是橫縱坐標均為整數的點)

(2)求拋物線的頂點的坐標(用含的代數式表示)；

(3)在(2)的條件下，如果區域中僅有4個整數點時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)6；(2)頂點的坐標為；(3)或．

【解析】

（1）將點(1，3)代入拋物線解析式中，即可求出值，再分別計算當時，對應的函數值，進而可得在“區域”內整數點的坐標，由此可得結論；

（2）利用配方法將拋物線的解析式變形為頂點式，由此即可得出頂點的坐標；

（3）分及兩種情況考慮，依照題意畫出圖形，結合圖形得出關于的不等式組，解之即可得出結論．

解：（1）∵拋物線經過(1，3)，∴，解得：．

當時，，，∴點，點．

當時，，∴(0，1)、(0，2)兩個整數點在“區域”；

當時，，∴(1，1)、(1，2)兩個整數點在“區域”；

當時，，∴(2，1)、(2，2)兩個整數點在“區域”．

綜上所述：此時“區域”有6個整數點．

故答案為：6．

（2）∵，∴頂點的坐標為．

（3）當時，，∴拋物線與軸的交點坐標為．

當時，如圖1所示，此時有，解得：；

當時，如圖2所示，此時有，解得：．

綜上所述：在（2）的條件下，如果區域中僅有4個整數點時，則的取值范圍為或．