Question

【題目】如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，AD⊥BC，點P為邊AB 上一個動點，過點P作PF∥AC交線段BD于點F，作PG⊥AB交AD于點E，交線段CD于點G，設， ．

（1）求證： ；

（2）求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）以P、E、F為頂點的三角形與△EDG能否相似？如果能相似，請求出.BP的長，如果不能，請說明理由．

（備用圖）

Answer 1

【答案】（1）；（2）（≤≤1）；（3）或.

【解析】試題分析：（1）證△PBF是等邊三角形，得到BF=FP．再由等角對等邊得到FP=FG，從而得到結論；

（2）由BP=x，∠PGB=30°，得到， .由等邊三角形的性質得到BD=1，

從而有DG=2x-1，在△EDG中，得到DG=y，故2x-1=y，從而得到結論．

（3）若△FPE與△EDG相似，分兩種情況討論：①當時；②當時．

試題解析：解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴

又∵PF∥AC，∴，∴△PBF是等邊三角形，∴ ．

又∵PG⊥AB，∴，∴ ，∴ .

（2）∵， ， ，∴ ， .

又∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC， ，∴ ，∴

在△EDG中，∵∠EDG=90°，∠EGD=30°，ED=y，∴DG=y，

∴2x-1=y，∴ （≤≤1）．

（3）能相似，

∵，∴若△FPE與△EDG相似，有兩種情況．

①當時，∴EF∥AB，∴，∴，解得： ；

②當時，

∵△BPF是等邊三角形，∴，∴ ，∴ ，

∵AD⊥BC，∴， 即，解得： ， ∴BP的長是或