Question

【題目】問題再現：

數形結合是一種重要的數學思想方法，借助這種思想方法可將抽象的數學知識變得直觀并且具有可操作性.初中數學里的一些代數公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋.

例如：利用圖形的幾何意義驗證完全平方公式.

將一個邊長為的正方形的邊長增加，形成兩個長方形和兩個正方形，如圖所示：這個圖形的面積可以表示成：

或

∴

這就驗證了兩數和的完全平方公式.

類比解決：

請你類比上述方法，利用圖形的幾何意義驗證平方差公式.

（要求畫出圖形并寫出推理過程）

問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法證明？

如圖所示，表示1個1×1的正方形，即：，表示1個2×2的正方形，與恰好可以拼成1個2×2的正方形，因此：、、就可以表示2個2×2的正方形，即：而、、、恰好可以拼成一個的大正方形.

由此可得：.

嘗試解決：

請你類比上述推導過程，利用圖形的幾何意義確定：_______.（要求寫出結論并構造圖形寫出推證過程）.

問題拓廣：

請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：_______.（直接寫出結論即可，不必寫出解題過程）.

Answer 1

【答案】嘗試解決：；問題拓廣：.

【解析】

嘗試解決：根據規律可以利用相同的方法進行探究推證，由于是探究13+23+33=？肯定構成大正方形有9個基本圖形（3個正方形6個長方形）組成，如圖所示可以推證．

實際應用：根據規律求大正方體中含有多少個正方體，可以轉化為13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2來求得．

嘗試解決：

如圖,A表示1個1×1的正方形,即1×1×1=13;

B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，

因此B. C. D就可以拼成2個2×2的正方形，即：2×2×2=23；

G與H、E與F和I可以拼成3個3×3的正方形，即：3×3×3=33；

而整個圖形恰好可以拼成一個(1+2+3)×(1+2+3)的大正方形，

因此可得：13+23+33=（1+2+3）2=62.

故答案為：(1+2+3)2或62.

問題拓廣：由上探究可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，

又∵1+2+3+…+n=

∴13+23+33+…+n3==

故答案為：