Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，點F在射線CM上,∠AEF=90°，AE=EF，過點F作射線BC的垂線，垂足為H，連接AC.
(1) 試判斷BE與FH的數量關系，并說明理由；
(2) 求證：∠ACF=90°；
(3) 連接AF，過A，E，F三點作圓，如圖2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的長.

圖1                         圖2

Answer 1

（1）BE="FH" ；理由見解析
（2）證明見解析
（3）=2π

試題分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，從而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH為45°，而∠ACB也為45°，從而可證明
（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直徑，設圓心為O，連接EO，過點E作EN⊥AC于點N，則可得△ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長，進而可得AE的長，得到半徑，得到所對圓心角的度數，從而求得弧長
試題解析：（1）BE=FH。理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形  ∴∠B=90°，
∵FH⊥BC  ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90°  ∴∠AEB+∠HEF="90°"   且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE  ∴ ∠AEB=∠EFH   又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF（SAS）
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH  又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"
∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°
∵AC是正方形對角線，∴ ∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點上。設該中點為O。連結EO得∠AOE=90°

過E作EN⊥AC于點N
Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=
Rt△ENA中，EN =  
又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧對等角）
∴∠EAC=30°
∴AE=
Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8
AE所在的圓O半徑為4，其所對的圓心角為∠AOE=90°
=2π·4·（90°÷360°）=2π