Question

如圖，已知AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，點G為上一點，GE⊥AB，垂足為點E，交AC于點D，過點C的切線與AB的延長線交于點F，與EG的延長線交于點P，連接AG．
（1）求證：△PCD是等腰三角形；
（2）若點D為AC的中點，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周長和AG的長．

Answer 1

(1)證明見解析
（2）△PCD的周長為3；AG=6

試題分析：（1）連結OC，由PF為切線可得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE⊥AB得∠GEA=90°，則∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，根據對頂角相等得∠ADE=∠PDC，所以∠PCD=∠PDC，于是根據等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；
（2）連結OD，BG，在Rt△COF中根據含30度的直角三角形三邊的關系可計算出OC=2，由于∠FOC=90°，∠F=30°，所以∠FOC=60°，由三角形外角性質可知∠1=∠2=30°，則∠PCD=90°﹣∠1=60°，從而△PCD為等邊三角形；再由D為AC的中點，由垂徑定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可得OD=OC=1，CD=OD=，所以△PCD的周長為3；然后在Rt△ADE中，可得DE=AD=，AE=DE=，由AB為直徑得到∠AGB=90°，再證明Rt△AGE∽Rt△ABG，利用相似比可計算出AG．
試題解析：（1）連結OC，如圖，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，
∵GE⊥AB，
∴∠GEA=90°，
∴∠2+∠ADE=90°，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠PCD=∠ADE，
而∠ADE=∠PDC，
∴∠PCD=∠PDC，
∴△PCD是等腰三角形；

（2）連結OD，BG，如圖，
在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，
∴OF=2OC，即OB+2=2OC，
而OB=OC，
∴OC=2，
∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，
∴△PCD為等邊三角形，
∵D為AC的中點，
∴OD⊥AC，
∴AD=CD，
在Rt△OCD中，OD=OC=1，
CD=OD=，
∴△PCD的周長為3；
在Rt△ADE中，AD=CD=，
∴DE=AD=，
AE=DE=，
∵AB為直徑，
∴∠AGB=90°，
而∠GAE=∠BAG，
∴Rt△AGE∽Rt△ABG，
∴AG：AB=AE：AG，
∴AG²=AE•AB=×4=6，
∴AG=6．