Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，點E、F分別是AB、CD的中點，過點A作AG∥BD，交CB的延長線于點G．

（1）求證：四邊形DEBF是菱形；

（2）請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形? 并加以證明；

（3）若AD=1，求四邊形AGCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AGBD是矩形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）由題意先證明△ADE是等邊三角形，再利用菱形的判定方法進行分析證明即可；

（2）根據題意直接運用矩形的判定方法進行分析證明即可；

（3）由題意分別求出BD和CG的值，運用梯形的面積公式求解即可.

解：（1）∵AB=2AD，E是AB的中點，

∴AD=AE=BE，

又∵∠DAB=60°，

∴△ADE是等邊三角形，故DE=BE，

同理可得DF=BF，

∵平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，

∴BE=DF，

∴DE=BE=BF=DF

即證得四邊形DEBF是菱形．

（2）AGBD是矩形．

理由如下：∵△ADE是等邊三角形，

∴∠DEA=60°，

又∵DE=BE，

∴∠EBD=∠EDB =30°，

∴∠ADB=60°+30°=90°，

又∵AG∥BD，AD∥CG，

∴四邊形AGBD是矩形．

（3）在Rt△ABD中，

∵AD=1，∠DAB=60°，

∴AB=2，BD==，

則AG=，CG==2，

故四邊形AGCD的面積為.