Question

【題目】如圖，已知拋物線的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）。

（1）求直線BC與拋物線的解析式；

（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；

（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點P的坐標。

Answer 1

【答案】解：（1）設直線BC的解析式為，

將B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴直線BC的解析式為。

將B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴拋物線的解析式。

（2）∵點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，∴設M。

∵點N是直線BC上與點M橫坐標相同的點，∴N。

∵當點M在拋物線在x軸下方時，N的縱坐標總大于M的縱坐標。

∴。

∴MN的最大值是。

（3）當MN取得最大值時，N。

∵的對稱軸是，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。

∴。

由勾股定理可得，。

設BC與PQ的距離為h，則由S1=6S2得：，即。

如圖，過點B作平行四邊形CBPQ的高BH，過點H作x軸的垂線交點E ，則BH=，EH是直線BC沿y軸方向平移的距離。

易得，△BEH是等腰直角三角形，

∴EH=。

∴直線BC沿y軸方向平移6個單位得PQ的解析式：

或。

當時，與聯立，得

，解得或。此時，點P的坐標為（－1，12）或（6，5）。

當時，與聯立，得

，解得或。此時，點P的坐標為（2，－3）或（3，－4）。

綜上所述，點P的坐標為（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

【解析】（1）由B（5，0），C（0，5），應用待定系數法即可求直線BC與拋物線的解析式。

（2）構造MN關于點M橫坐標的函數關系式，應用二次函數最值原理求解。

（3）根據S1=6S2求得BC與PQ的距離h，從而求得PQ由BC平移的距離，根據平移的性質求得PQ的解析式，與拋物線聯立，即可求得點P的坐標。